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Millikan Versuch

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Kondensator

Inhaltsverzeichnis: Das Magnetfeld

Einleitung

Der Millikan-Versuch ist ein physikalisches Experiment, welches eine relativ präzise Bestimmung der Elementarladung $ e $ ermöglicht. Der Versuch wurde im Jahre 1910 von dem amerikanischen Physiker Robert Andrews Millikan entwickelt und durchgeführt. Er ermittelte als Wert für die Elementarladung:

$$ e = \SI{1.592e-19}{C} $$

Heutzutage gibt es präzisere Methoden, um die Elementarladung zu ermitteln. Der genaue Wert beträgt heute:

$$ \SI{1.602176e-19}{C} $$

Berechnung mit der Schwebemethode (Einfeldmethode)

Die Kondensatorspannung $ U $ wird beim Millikan-Versuch solange erhöht bis ein Öltröpfchen annähernd still steht (schwebt). Dann wird das elektrische Feld ausgeschaltet und die Fallgeschwindigkeit $ v $ gemessen.

Übersicht über die Kräfte

Gewichtskraft (eines kugelförmigen Öltröpfchens im homogenen Schwerefeld der Erde):
$ F_\mathrm{G} = m \cdot g = V \cdot \rho_\mathrm{Öl} \cdot g = \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho_\mathrm{Öl} \cdot g $
Auftriebskraft (einer Kugel in Luft):
$ F_\mathrm{A} = \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho_\mathrm{Luft} \cdot g $
Feldkraft im homogenen elektrischen Feld:
$ F_\mathrm{El} = q \cdot E = \dfrac{q \cdot U}{d} $
Stokes'sche Reibungskraft (nur beim Fallen des Tröpfchens):
$ F_\mathrm{R} = 6 \, \pi \, \eta \, r \, v $

Dabei bedeuten:

$ \rho_\mathrm{Öl} $ = Dichte des Öls
$ \rho_\mathrm{Luft} $ = Dichte der Luft

$ g $ = Erdbeschleunigung

$ U $ = Spannung am Plattenkondensator
$ d $ = Plattenabstand des Plattenkondensators

$ \eta $ = Viskosität der Luft

$ v $ = Sinkgeschwindigkeit des Öltröpfchens

Effektive Dichte $ \rho^ \cdot $

Der in den folgenden Herleitungen vorkommende Ausdruck $ F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} $ kann gut mit der "effektiven" Dichte $ \rho^ \cdot = \rho_\mathrm{Öl} - \rho_\mathrm{Luft} $ berechnet werden:

\begin{aligned} F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} &= \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho_\mathrm{Öl} \cdot g \enspace - \enspace \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho_\mathrm{Luft} \cdot g \\ & \\ F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} &= \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \left( \rho_\mathrm{Öl} - \rho_\mathrm{Luft} \right) \cdot g \\ & \\ F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} &= \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho^ \cdot \cdot g \\ \end{aligned}

Versuchsdurchführung

Folgende Werte gelten für die Simulation "Millikan-Versuch":

$ \rho_\mathrm{Öl} = 973 \frac{Kg}{m^3} $, $ \rho_\mathrm{Luft} = 1,29 \frac{Kg}{m^3} $, $ d = 5 mm $, $ \eta = 1,828 \cdot 10^{-5} \frac{Ns}{m^2} $,

Der Abstand zweier dicker grauer Linien auf der Skala im Feld des Kondensators beträgt $ 1 mm $ und zwischen den dünnen Linien $ 0,25 mm $.

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Öl sprühen

Elektrisches Feld:

An Aus

$ U = $ -1 $ V$

Stoppuhr:

00:00.00

Start Reset

Ladung $ q $ des schwebenden Tröpfchens

Um die Ladung zu ermitteln, erhöht man die Kondensatorspannung $ U $ solange bis ein Tröpfchen schwebt. Dann sind die elektrische Kraft $ F_\mathrm{El} $ und die Auftriebskraft $ F_\mathrm{A} $ gleich der Gewichtskraft $ F_\mathrm{G} $.

\begin{aligned} F_\mathrm{El} + F_\mathrm{A} &= F_\mathrm{G} \\ & \\ F_\mathrm{El} &= F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} \\ & \\ \dfrac{q \cdot U}{d} &= \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho^ \cdot \cdot g \\ & \\ q &= \dfrac{4}{3} \pi \, r^3 \cdot \rho^ \cdot \cdot g \cdot \dfrac{d}{U} \\ & \\ \end{aligned}

Radius $ r $ des fallenden Tröpfchens

Wenn das Kondensatorfeld ausgeschaltet ist, werden die Tröpfchen zunächst von der Gewichtskraft $ F_\mathrm{G} $ nach unten gezogen und beschleunigt. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt jedoch die Reibungskraft $ F_\mathrm{R} $ zu. Wenn diese Reibungskraft und die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft sind, wird das Öltröpfchen nicht mehr weiter beschleunigt, sondern fällt mit konstanter Geschwindigkeit $ v $ weiter. Man kann aus der Formel für dieses Kräftegleichgewicht den Radius $ r $ des Tröpfchens ermitteln.

\begin{aligned} F_\mathrm{G} &= F_\mathrm{R} + F_\mathrm{A} \\ & \\ F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} &= F_\mathrm{R} \\ & \\ \dfrac{4}{3} \cancel \pi \, r^{\cancel 3 2} \cdot \rho^ \cdot \cdot g &= 6 \, \cancel \pi \, \eta \, \cancel r \, v \\ & \\ \dfrac{4}{3} \, r^{2} \cdot \rho^ \cdot \cdot g &= 6 \, \eta \, v \\ & \\ r^{2} &= \dfrac{9 \, \eta \, v}{2 \, \rho^ \cdot g } \\ & \\ r &= \sqrt{ \dfrac{9 \, \eta \, v}{2 \, \rho^ \cdot g } } \\ & \\ \end{aligned}

Bestimmung der Elementarladung

Messergebnisse der Tröpfchenladung beim Millikan-Versuch

Jedes Öltröpfchen besteht aus vielen Atomen und kann nicht nur eine, sondern auch mehrere Ladungen tragen. Daher ist jede berechnete Ladung $ q $ eines Öltröpfchens ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung $ e $. Dies wird deutlich, wenn man die Ladungsverteilung vieler Versuche in ein Diagramm einträgt.