Allgemeine Definition von Welle

Eine Welle ist in der Physik ein räumlich und zeitlich veränderliches Feld, das Energie, jedoch keine Materie, durch den Raum transportiert. [...]

Veranschaulichung: Gummiseil

Ein Gummiseil mit Gewichten ist elastisch aufgehängt. Wird dem linken Ende Energie zugeführt beginnt es zu schwingen. Durch die elastische Verbindung der einzelnen Gewichte, überträgt sich die Energie auf das benachbarte Gewicht. Eine Welle (rot) breitet sich aus.

Bei dem obigen Versuch findet keine Materietransport statt. Die einzelnen Gewichte führen nur "lokale" Bewegungen während der Schwingung aus. Haben aber insgesamt eine feste position.

Wellenarten

Die klassischen Wellenarten sind Longitudinal- und Transversalwellen.

Longitudinalwellen schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung.

Transversalwellen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

Eigenschaften

Eine Welle hat folgende Eigenschaften:

• Amplitude
  Die Amplitude \( y_0 \) beschreibt die maximale Auslenkung der Schwingungen der Welle, also dort wo der Wellenberg am höchsten ist. Bei Lichtwellen ist die Amplitude nicht immer direkt messbar; von ihr abhängig ist jedoch die Intensität (Helligkeit), welche gemessen werden kann.
• Wellenlänge
  Als Wellenlänge \( \lambda \) (Lambda) versteht man den Abstand zweier Punkte mit gleicher Phase. Also zum Beispiel der Abstand zwischen zwei benachbarten Wellenbergen oder Wellentälern.
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
  Die Ausbreitungsgeschwindigkeit \( v \) einer Welle ist die Geschwindigkeit mit der sich eine bestimmte Phase, z.B. ein Wellenberg oder ein Wellental fortbewegt.

Außerdem wird eine Welle durch die von ihr erzeugten Schwingungen charakterisiert:

• Periodendauer (Schwingungsdauer)
  Die Periodendauer ist die Zeit, die verstreicht, während ein schwingungsfähiges System genau eine Schwingungsperiode durchläuft, d.h. nach der es sich wieder im selben Schwingungszustand befindet. Der Kehrwert der Periodendauer \(T\) ist die Frequenz \(f\), also: \( f = \frac{1}{T} \).
• Frequenz
  Die Frequenz \( f \) gibt die Anzahl der vollen Schwingungen pro Zeiteinheit an und wird nach dem deutschen Physiker Heinrich Hertz in Hertz (\( Hz = \dfrac{1}{s} \)) gemessen.

Zwischen der Wellenlänge der Welle und der Frequenz der Schwingungen besteht ein direkter physikalischer Zusammenhang: $$ \lambda \cdot f = v $$ Damit ergibt sich auch eine Beziehung zwischen der Wellenlänge und der Periodendauer: \begin{aligned} \lambda \cdot f & = v \\ \lambda \cdot \frac{1}{T} & = v \\ \lambda & = v \cdot T \end{aligned}

Darstellung

Man kann eine Welle durch zwei Diagramme charakterisieren. Das erste Diagramm \( y(x) \) zeigt die Ausbreitung der Welle und die Auslenkung der Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt \( t_1 \).

Das zweite Diagramm \( y(t) \) zeigt die Auslenkung an einem bestimmten Ort \( x_1 \) der Welle. Es ist praktisch das Schwingungsdiagramm eines Teilchens.

Die Schwingung beginnt erst wenn die Welle das Teilchen erreicht: $$ t_{Beginn} = \dfrac{x_1}{v} = \dfrac{4m}{0,5 \dfrac{m}{s}} = 8   s $$

Wellengleichung

Die Ausbreitung einer Transversalwelle lässt sich durch folgende Gleichungen beschreiben (\( t = 0 \) bei positiven Nulldurchgang des Erregers). Schwingung des Erregers: $$ y(t) = y_0 \cdot \sin(\omega \cdot t) = y_0 \cdot \sin\left(\dfrac{2 \cdot \pi}{T} \cdot t\right) $$ Da die Welle sich mit der Geschwindigkeit \( v \) ausbreitet, ist die Schwingung eines Teilchens in der Entfernung \( x \) vom Erreger um die Zeit \( t = \dfrac{x}{v} \) verzögert: \begin{aligned} y(t, x) & = y_0 \cdot \sin\left[\dfrac{2 \cdot \pi}{T} \cdot \left(t - \dfrac{x}{v}\right)\right] \\ y(t, x) & = y_0 \cdot \sin\left[2 \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{v \cdot T}\right)\right] \\ y(t, x) & = y_0 \cdot \sin\left[2 \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\right] \end{aligned}
Ist die Entfernung konstant (\( x = x_0 \)), so gilt:
$$ \dfrac{x_0}{v} = t_0 $$ \begin{aligned} y & = y_0 \cdot \sin\left[\dfrac{2 \cdot \pi}{T} \cdot \left(t - \dfrac{x}{v}\right)\right] \\ y & = y_0 \cdot \sin\left[\dfrac{2 \cdot \pi}{T} \cdot \left(t - t_0\right)\right] \end{aligned}
Ist der Zeitpunkt konstant (\( t = t_1 \)), so gilt:
\begin{aligned} y & = y_0 \cdot \sin\left[\dfrac{2 \cdot \pi}{T} \cdot \left(t_1 - \dfrac{x}{v}\right)\right] \\ y & = y_0 \cdot \sin\left[\dfrac{2 \cdot \pi}{T \cdot v} \cdot \left(t_1 \cdot v - x\right)\right] \\ \end{aligned}

\( T \cdot v = \lambda \qquad \) und \( \qquad t_1 \cdot v = x_1 \)

\begin{aligned} y & = y_0 \cdot \sin\left[\dfrac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \left(x_1 - x\right)\right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{aligned} Hierbei ist \( x_1 \) die Entfernung, welche die Welle in der Zeit \( t_1 \) zurückgelegt hat.

Quellen

• Wikipedia: Artikel über "Welle (Physik)"
• Website der Universität Wien: "Lichtmikroskopie online", Grundlagen der Wellenoptik

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Lichtmodelle

Phasenverschiebung / Gangunterschied

• English version: Article about "Basic Properties"

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