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Compton-Effekt

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Bragg-Gleichung

Inhaltsverzeichnis: Kernphysik

Compton-Effekt, Formel und Beispielrechnung (2:12 Minuten)

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Einleitung

Im Jahre 1922 untersuchte Arthur Compton die Streuung von hochenergetischer Röntgenstrahlung an Graphit. Dieses Element hat eine sehr geringe Austrittsarbeit, d.h. die Elektronen sind im Metall nur lose gebunden und können daher als freie Elektronen bezeichnet werden. Arthur Compton fand heraus, dass die Photonen der Röntgenstrahlung nach der Streuung an den freien Elektronen eine geringere Frequenz und damit eine höhere Wellenlänge haben. Dies liegt daran, dass sie Energie und Impuls an die Elektronen abgegeben haben. Die Richtungsänderung $ \beta $ des Photons bestimmt, dabei um wieviel die Wellenlänge zunimmt, also seine Energie und Impuls abnimmt.

Comptons Messungen zeigten, dass sich die Wellenlänge der gestreuten Strahlung je nach Streuwinkel wie bei einem elastischen Stoß von Teilchen, dem Photon und dem Elektron, verhält.

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Die Änderung der Wellenlänge kann man mit Hilfe des Energie- und Impulserhaltungssatz herleiten (siehe unten).

$$ \Delta \lambda = \lambda ' - \lambda = \dfrac{h}{m_e \cdot c} \cdot (1 - \cos \beta) $$

Die Konstante $ \dfrac{h}{m_e \cdot c} $ wird auch als Compton-Wellenlänge $ \lambda_c $ bezeichnet und hat einen Wert von:

$$ \lambda_c = 2,426 \cdot 10^{-12} m $$

Eingesetzt in die obige Formel ergibt:

$$ \Delta \lambda = \lambda_c \cdot (1 - \cos \beta) $$

Herleitung

Im Folgenden wird die Compton-Formel für die Richtungsänderung $ \beta $ hergeleitet. Dabei wird das Elektron als freies, ruhendes Elektron angenommen.

Impulse des Photons $$ p = \dfrac{E}{c} \qquad \mathrm{(1.1)} $$ $$ p^{\prime} = \dfrac{E^{\prime}}{c} \qquad \mathrm{(1.2)} $$ Energie-Impuls-Beziehung $$ \left( E^{\prime}_e \right) ^2 = \left( E_e \right) ^2 + c^2 \cdot \left( p_e^{\prime} \right) ^2 $$

Umgestellt nach $ \left( p_e^{\prime} \right) ^2 $ :

$$ \left( p_e^{\prime} \right) ^2 = \dfrac{ \left( E^{\prime}_e \right) ^2 - \left( E_e \right) ^2}{c^2} \qquad \mathrm{(2)} $$ Impulserhaltungssatz $$ \vec p = \vec p^{\,\prime} + \vec p^{\,\prime}_e $$

(Vektoriell)

$$ \left( p_e^{\prime} \right) ^2 = p^2 + p^{\prime \, 2} - 2 \cdot p \cdot p' \cdot \cos \beta \qquad \mathrm{(3)} $$

(Mit Kosinussatz)

In die letzte Formel $ \mathrm{(3)} $ werden nun die Formeln $ \mathrm{(1.1)} $, $ \mathrm{(1.2)} $ und $ \mathrm{(2)} $ eingesetzt:

$$ \dfrac{ \left( E^{\prime}_e \right) ^2 - \left( E_e \right) ^2}{c^2 \cdot } = \left( \dfrac{E}{c} \right) ^2 + \left( \dfrac{E^{\prime}}{c} \right) ^2 - 2 \cdot \dfrac{E}{c} \cdot \dfrac{E^{\prime}}{c} \cdot \cos \beta \qquad \mathrm{(4)} $$

Umformen:

$$ \dfrac{ \left( E^{\prime}_e \right) ^2 - \left( E_e \right) ^2}{c^2} = \dfrac{E^2}{c^2} + \dfrac{E^{\prime \, 2}}{c^2} - 2 \cdot \dfrac{E \cdot E^{\prime}}{c^2} \cdot \cos \beta \qquad \mathrm{(5)} $$

Mal $ c^2 $:

$$ \left( E^{\prime}_e \right) ^2 - \left( E_e \right) ^2 = E^2 + E^{\prime \, 2} - 2 \cdot E \cdot E^{\prime} \cdot \cos \beta \qquad \mathrm{(5)} $$
Energieerhaltungssatz $$ E + E_e = E^{\,\prime}+ E^{\,\prime}_e $$

Umgestellt nach $ E^{\,\prime}_e $ :

$$ E^{\,\prime}_e = E + E_e - E^{\,\prime} $$

Einsetzen:

$$ \left( E + E_e - E^{\,\prime} \right) ^2 - \left( E_e \right) ^2 = E^2 + E^{\prime \, 2} - 2 \cdot E \cdot E^{\prime} \cdot \cos \beta $$ $$ \cancel{E^2} + \cancel{ \left( E_e \right) ^2 } + \cancel{ E^{\prime \, 2} } + 2 \cdot E \cdot E_e - 2 \cdot E \cdot E^{\,\prime} - 2 \cdot E^{\prime} \cdot E_e - \cancel{ \left( E_e \right) ^2 } = \cancel{E^2} + \cancel{ E^{\prime \, 2} } - 2 \cdot E \cdot E^{\prime} \cdot \cos \beta $$ $$ 2 \cdot E \cdot E_e - 2 \cdot E \cdot E^{\,\prime} - 2 \cdot E^{\prime} \cdot E_e = - 2 \cdot E \cdot E^{\prime} \cdot \cos \beta \qquad | \cdot \dfrac{1}{2 \cdot E \cdot E^{\prime} \cdot E_e} $$ \begin{aligned} \dfrac{1}{E^{\prime}} - \dfrac{1}{E_e} - \dfrac{1}{E} & = - \dfrac{\cos \beta}{E_e} \enspace \,\, \qquad \qquad \qquad | + \dfrac{1}{E_e} \\ \dfrac{1}{E^{\prime}} - \dfrac{1}{E} & = \dfrac{1}{E_e} - \dfrac{\cos \beta}{E_e} \qquad \qquad | \dfrac{1}{E_e} \mathrm{ausklammern} \\ \dfrac{1}{E^{\prime}} - \dfrac{1}{E} & = \dfrac{1}{E_e} \cdot (1 - \cos \beta) \\ \end{aligned} Energien des Photons $$ E = \dfrac{h \cdot c}{\lambda} $$ $$ E^{\prime} = \dfrac{h \cdot c}{\lambda^{\prime}} $$

Einsetzen:

\begin{aligned} \dfrac{\lambda^{\prime}}{h \cdot c} - \dfrac{\lambda}{h \cdot c} & = \dfrac{1}{E_e} \cdot (1 - \cos \beta) \qquad | \cdot h \cdot c\\ \lambda^{\prime} - \lambda & = \dfrac{h \cdot c}{E_e} \cdot (1 - \cos \beta) \\ \end{aligned}

Mit $ E_e = m_e \cdot c^2 $ :

$$ \lambda^{\prime} - \lambda = \dfrac{h}{m_e \cdot c} \cdot (1 - \cos \beta) $$

Mit $ \lambda_c = \dfrac{h}{m_e \cdot c} $ :

$$ \Delta \lambda = \lambda_c \cdot (1 - \cos \beta) $$