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Hall-Effekt

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Masse und die spezifische Ladung eines Elektrons

Geschwindigkeitsfilter

Einleitung

Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld, so werden die Elektronen im Leiter von der Lorentzkraft abgelenkt. Dadurch entsteht im Leiter die sogenannte Hall-Spannung senkrecht zur Stromfluss- und zur Magnetfeldrichtung. Dieser Vorgang wurde 1879 von Edwin Hall entdeckt und später nach ihm benannt.

Berechnungen

Die Lorentzkraft $ F_L $ wird mit der elektrischen Kraft $ F_{El} $ gleichgesetzt:

\begin{align*} F_{El} &= F_L \\ & \\ \cancel e \cdot E &= \cancel e \cdot v \cdot B \\ & \\ E &= v \cdot B \\ & \\ \dfrac{U}{h} &= v \cdot B \\ & \\ U &= v \cdot B \cdot h \\ \end{align*}

Für die Gesamtladung $ Q $ der Elektronen im Leiter gilt:

$$ Q = N \cdot e $$

$ N $ = Anzahl der Elektronen, $ e $ = Elementarladung

Setzt man dies in die Formel für die Stromstärke ein und beachtet $ t = \dfrac{s}{v} $, erhält man:

$$ I = \dfrac{Q}{t} = \dfrac{N \cdot e \cdot v}{s} $$

Nun wird nach der Geschwindigkeit $ v $ umgestellt und in die Gleichung für $ U $ eingesetzt:

$$ v = \dfrac{I \cdot s}{N \cdot e} $$ $$ U = \dfrac{I \cdot s}{N \cdot e} \cdot B \cdot h $$

Man multipliziert nun beide Seiten mit der Dicke $ d $ des Leiters und ersetzt dann auf der rechten Seite das Volumen $ V = s \cdot h \cdot d $:

$$ U \cdot d = \dfrac{I \cdot s}{N \cdot e} \cdot B \cdot h \cdot d $$ $$ U \cdot d = \dfrac{V}{N \cdot e} \cdot I \cdot B $$ $$ U = \dfrac{V}{N \cdot e} \cdot \dfrac{I \cdot B}{d} $$

Das Ergebnis des ersten Bruchs ist stoffspezifisch und wird als Hall-Konstante $ R_\mathrm{H} $ bezeichnet:

$$ R_\mathrm{H} = \dfrac{V}{N \cdot e} $$

Schließlich erhält man für die Hall-Spannung $ U_\mathrm{H} $:

$$ U_\mathrm{H} = R_\mathrm{H} \cdot \dfrac{I \cdot B}{d} $$ $ I $ = Stromstärke, $ B $ = Magnetische Flussdichte, $ d $ = Dicke des Leiters